El Teorema de Bayes describe la probabilidad de que, sabiendo que ha sucedido A, un segundo suceso B esté interfiriendo en la probabilidad de que suceda el primero.
La famosa fórmula es: (P(A|B) * P(B)) / P(A)
La definición del profesor me gusta bastante, "Sabemos que ha sucedido A, ¿cuál es la probabilidad de que haya ocurrido a causa de B?"
Un ejemplo traducido y ligeramente modificado de Trefor Bazett:
Tenemos dos cubos, C1 y C2
C1: 3 bolas azules y 3 negras
C2: 2 bolas azules y 3 negras
Suceso A: seleccionar una bola azul.
P(A|C1) = 3/6 = 1/2 Probabilidad de encontrar una bola azul en C1
P(A|C2) =2/6 = 1/3 Probabilidad de encontrar una bola azul en C2
P(B1) = P(B2) = 1/2 Esto es, la probabilidad de sacar una bola (del color que sea) de cada uno de los cubos
¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola (P(A))?
Bueno, pues podríamos expresar la P(A) como la suma de las probabilidades de los conjuntos (A ∩ C1) y (A ∩ C2), es decir, de cuando el suceso A intersecciona con C1 y C2.
Y, recordemos la siguiente propiedad: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) ergo, P(A|B)*P(B) = P(A ∩ B) . Entonces tendremos que:
P(A) = P(A|C1)*P(C1) + P(A|C2)*P(C2) = 1/2 * 1/2 + 1/3 * 1/2 = 10/24 = 5/12
Y ahora la pregunta estrella... ¿cuál es la probabilidad de, dada una bola azul sacada, esta provenga del cubo C1)?
Pues volvemos a Bayes: P(B|A) = (P(A|B)*P(B))/(A) y tendremos que:
P(C1|A) = (1/2 * 1/2)/(5/12) = 12/20 = 3/5
Comprobemos también que la P(C2|A) es 2/5
P(C2|A) = (1/3 * 1/2 )/(5/12) = 12/30 = 2/5
Teorema de las Probabilidades Totales
Este teorema simplemente explica que la suma de todas las probabilidades de los sucesos condicionados multiplicados por la probabilidad de los condicionantes de un espacio muestral particionado determina la probabilidad de dicho suceso.
La fórmula se entiende mucho mejor. P(A) = P(A|H1)*P(H1) + P(A|H2)*P(H2) + ... + P(A|Hn)*P(Hn)
La famosa fórmula es: (P(A|B) * P(B)) / P(A)
La definición del profesor me gusta bastante, "Sabemos que ha sucedido A, ¿cuál es la probabilidad de que haya ocurrido a causa de B?"
Un ejemplo traducido y ligeramente modificado de Trefor Bazett:
Tenemos dos cubos, C1 y C2
C1: 3 bolas azules y 3 negras
C2: 2 bolas azules y 3 negras
Suceso A: seleccionar una bola azul.
P(A|C1) = 3/6 = 1/2 Probabilidad de encontrar una bola azul en C1
P(A|C2) =2/6 = 1/3 Probabilidad de encontrar una bola azul en C2
P(B1) = P(B2) = 1/2 Esto es, la probabilidad de sacar una bola (del color que sea) de cada uno de los cubos
¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola (P(A))?
Bueno, pues podríamos expresar la P(A) como la suma de las probabilidades de los conjuntos (A ∩ C1) y (A ∩ C2), es decir, de cuando el suceso A intersecciona con C1 y C2.
Y, recordemos la siguiente propiedad: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) ergo, P(A|B)*P(B) = P(A ∩ B) . Entonces tendremos que:
P(A) = P(A|C1)*P(C1) + P(A|C2)*P(C2) = 1/2 * 1/2 + 1/3 * 1/2 = 10/24 = 5/12
Y ahora la pregunta estrella... ¿cuál es la probabilidad de, dada una bola azul sacada, esta provenga del cubo C1)?
Pues volvemos a Bayes: P(B|A) = (P(A|B)*P(B))/(A) y tendremos que:
P(C1|A) = (1/2 * 1/2)/(5/12) = 12/20 = 3/5
Comprobemos también que la P(C2|A) es 2/5
P(C2|A) = (1/3 * 1/2 )/(5/12) = 12/30 = 2/5
Teorema de las Probabilidades Totales
Este teorema simplemente explica que la suma de todas las probabilidades de los sucesos condicionados multiplicados por la probabilidad de los condicionantes de un espacio muestral particionado determina la probabilidad de dicho suceso.
La fórmula se entiende mucho mejor. P(A) = P(A|H1)*P(H1) + P(A|H2)*P(H2) + ... + P(A|Hn)*P(Hn)
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